Levi Civitaの記号と擬テンソルについて
p.15-17 2.テンソル解析の初歩
$ \mathrm dx'^{\mu}=\frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\nu}\mathrm d x^\nu
$ {M^\mu}_\nu:=\frac{\partial x^{'\mu}}{\partial x^\nu}
元資料では$ Mの添字を同じ列に書いているが、対応をわかりやすくすためずらして書くtakker.icon
$ xを基底$ \sf Eに、$ x'を基底$ \sf Fに対応させる
$ {M^\mu}_\nu=[\pmb I]^{\sf\bar FE}_{\mu\nu}
基底を$ E\to F に変換する際、$ A'^\mu=[\pmb I]^{\sf\bar FE}_{\mu\nu}A^\nu と変換される量を反変vectorとする
$ \frac{\partial B}{\partial x'^\nu}=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^\nu}\frac{\partial B}{\partial x^\mu}
$ {\overline M_\nu}^\mu:=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^\nu}
$ {\overline M_\nu}^\mu=[\pmb I]^{\sf F\bar E}_{\nu\mu}
$ [\bm\nabla B]^{\sf F}_\nu=[\pmb I]^{\sf F\bar E}_{\nu\mu}[\bm\nabla B]^{\sf E}_\mu
基底を$ E\to F に変換する際、$ A'_\mu=[\pmb I]^{\sf F\bar E}_{\mu\nu}A_\nu と変換される量を共変vectorとする
$ {M^\mu}_\nu{\overline M_\rho}^\nu=[\bm I]^{\sf\bar FE}_{\mu\nu}[\bm I]^{\sf F\bar E}_{\rho\nu}=[\bm I]^{\sf\bar FE}_{\mu\nu}[\bm I]^{\sf \bar EF}_{\nu\rho}=[\bm I]^{\sf\bar FF}_{\mu\rho}=\llbracket\mu=\rho\rrbracket
$ M表記だとわかりにくいが、基底と添字をペアにしてひっくり返せる
$ {[\bm I]^{\sf F\bar E}}^{-1}=\left[{\bm I}^{-1}\right]^{\sf E\bar F}=\left[{{\bm I}^{-1}}^\top\right]^{\sf \bar FE}=[\bm I]^{\sf\bar FE}
p. 17-18 3.三次元のLevi-Chivitaの記号
$ e_{ijk}:=e^{ijk}
$ e^{123}:=1
$ e^{ijk}:=-e^{jik}
$ e^{ijk}:=-e^{ikj}
$ e^{ijk}:=-e^{kji}
$ e^{iij}:=0
もし$ eの成分が座標変換で不変だとするなら、
$ e'^{ijk}=\frac{1}{\det[\pmb I]^{\sf\bar FE}}[\pmb I]^{\sf\bar FE}_{i\nu}[\pmb I]^{\sf\bar FE}_{j\nu}[\pmb I]^{\sf\bar FE}_{k\rho}e^{\mu\nu\rho}
である必要がある
$ \because [\pmb I]^{\sf\bar FE}_{i\nu}[\pmb I]^{\sf\bar FE}_{j\nu}[\pmb I]^{\sf\bar FE}_{k\rho}e^{\mu\nu\rho}=\det[\pmb I]^{\sf\bar FE}
$ e'^{ijk}=\frac{1}{{\det[\pmb I]^{\sf\bar FE}}^1}[\pmb I]^{\sf\bar FE}_{i\mu}[\pmb I]^{\sf\bar FE}_{j\nu}[\pmb I]^{\sf\bar FE}_{k\rho}e^{\mu\nu\rho} の$ \det[\pmb I]^{\sf\bar FE} の次数をみている
$ {\det[\pmb I]^{\sf\bar FE}}^w なら重みwのtensor密度となる
通常のtensorは重み0のtensor密度である
同様に$ e'_{ijk}={\det[\pmb I]^{\sf\bar FE}}^{-1}[\pmb I]^{\sf F\bar E}_{i\mu}[\pmb I]^{\sf F\bar E}_{j\nu}[\pmb I]^{\sf F\bar E}_{k\rho}e_{\mu\nu\rho} なので、$ e_{ijk}は重み-1のtensor密度である
p.18-21 4. 軸性ベクトルおよびその他の量
$ g^{\mu\nu}=[\bm I]^{\sf\bar E\bar E}_{\mu\nu}
$ g_{\mu\nu}=[\bm I]^{\sf EE}_{\mu\nu}
$ g=\det[\bm I]^{\sf EE}
擬スカラの例$ \Phi^*:=\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}[\bm e]^{\sf EEE}_{\mu\nu\rho}[\bm A]^{\sf\bar E}_\mu[\bm B]^{\sf\bar E}_\nu[\bm C]^{\sf\bar E}_\rho
擬ベクトルの例$ [\bm\alpha^*]^{\sf E}_i:=\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}[\bm e]^{\sf EEE}_{ijk}[\bm B]^{\sf\bar E}_j[\bm C]^{\sf\bar E}_k
もし$ \bm\alpha^*=\bm B\times\bm Cならば、$ \Phi^*=\bm A\cdot\bm\alpha^*=\bm A\cdot\bm B\times\bm Cとなる
座標変換
$ \sqrt{\det[\bm I]^{\sf FF}}[\bm e]^{\sf FFF}_{\mu\nu\rho}[\bm A]^{\sf\bar F}_\mu[\bm B]^{\sf\bar F}_\nu[\bm C]^{\sf\bar F}_\rho
$ = \sqrt{\det[\bm I]^{\sf F\bar E}\det[\bm I]^{\sf EE}\det[\bm I]^{\sf\bar EF}}\frac{1}{\det[\pmb I]^{\sf F\bar E}}[\pmb I]^{\sf F\bar E}_{\mu i}[\pmb I]^{\sf F\bar E}_{\nu j}[\pmb I]^{\sf F\bar E}_{\rho k}[\bm e]^{\sf EEE}_{ijk}[\bm A]^{\sf\bar F}_\mu[\bm B]^{\sf\bar F}_\nu[\bm C]^{\sf\bar F}_\rho
$ = \left|\det[\bm I]^{\sf F\bar E}\right|\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}\frac{1}{\det[\pmb I]^{\sf F\bar E}}[\bm e]^{\sf EEE}_{ijk}[\bm A]^{\sf\bar E}_\mu[\bm B]^{\sf\bar E}_\nu[\bm C]^{\sf\bar E}_\rho
$ = \frac{\left|\det[\bm I]^{\sf F\bar E}\right|}{\det[\pmb I]^{\sf F\bar E}}\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}[\bm e]^{\sf EEE}_{\mu\nu\rho}[\bm A]^{\sf\bar E}_\mu[\bm B]^{\sf\bar E}_\nu[\bm C]^{\sf\bar E}_\rho
$ = {\rm sgn}\det[\bm I]^{\sf F\bar E}\Phi^*
変換で座標が反転しなければ(=行列式>0であれば)符号変化せず、一見tensorと同じに見えるため、擬tensorやら擬scalarと呼ばれている
これ以上読む必要を感じないtakker.icon
$ {\Large\bm\epsilon}を座標変換に不変とするか、$ {\Large\bm\epsilon}の成分を座標変化に不変とするかの違いでしかない